Persamaan Garis Lurus, Relasi Garis Lurus dan fungsi Kuadrat

BAB II

PEMBAHASAN

1.             Persamaan Garis Lurus

A.           Pengertian Persamaan Garis Lurus

Dari persamaan y = 4x, jika dibuat grafiknya, akan terbentuk garis lurus. Oleh karena itu persamaan y = 4x merupakan persamaan garis lurus.

Perhatikan garis lurus pada Gambar  berikut!

Pada gambar di atas hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus dalah y = -2x + 5. Secara umum hubungan nilai x dengan nilai y yang terletak pada garis lurus dapat ditulis px + qy =r dengan p, q, r bilangan real dan p, q ≠ 0. Persamaan y = -2x + 5disebut persamaan garis lurus.

B.            Bentuk-bentuk Persamaan Garis Lurus

Bentuk persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yakni:

a.              Bentuk Eksplisit

Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai y= mx + c, dengan x dan y variabel atau peubah, m dan c konstanta. Bentuk persamaan tersebut dinamakan bentuk eksplisit. Dalam hal ini m sering dinamakan sebagai koefisien arah atau gradien dari garis lurus, sehingga untuk garis yang persamaannya y = 2x + 1 mempunyai gradien m = 2.

b.             Bentuk Implisit

 Persamaan y = 2x + 1 dapat diubah ke bentuk lain yaitu:

 2x – y + 1 = 0, sehingga bentuk umum yang lain untuk persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai Ax + By + C = 0, dengan x dan y sebagai peubah serta A, B, dan C konstanta. Bentuk tersebut dinamakan bentuk implisit.

2.             Gradien

A.           Pengertian Gradien

Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu. Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecil m. Perhatikan gambar di bawah ini!

B.            Sifat-sifat Garis Berdasarkan Gradiennya

a.              Garis yang arahnya condong ke kanan

Gradien garis yang arah condongnya ke kanan bernilai positif 

b.             Garis yang arahnya condong kekiri

Gradien garis yang arah condongnya ke kiri bernilai negatif 

Garis k condong ke kiri , maka m_k bernilai negatif

Gradien dari sebuah persamaan garis

Jika sebuah garis mempunyai persamaan ax + by = c, maka gradien persamaan garis itu ialah :  

 

c.              Garis yang sejajar sumbu x

Garis yang sejajar sumbu x mempunyai gradien nol

d.             Gradien yang sejajar sumbu y

Gradien garis yang sejajar sumbu y tidak didefinisikan.

e.              Dua garis sejajar

Dua garis yang sejajar gradiennya sama.

(m₁ = m₂)

f.               Dua garis yang saling tegak lurus

Perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus sama dengan -1atau (m₁.m₂ = -1)

g.             Gradien garis AB sama dengan gradien BA atau m_AB = m_BA

1)   Gradien Melalui pusat (0,0) dan titik (x,y)

a.    Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m dan melalui titik (0, 0).

Contoh:

Tentukan gradien garis dengan persamaan y = 4x dan melalui titik (0,0)

Jawab:

y = mx, jadi gradien dari garis y = 4x adalah 4

b.    Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m dan melalui titik (0, c).

2)   Gradien garis yang melalui dua titik A (x_1,y₁) dan B (x₂,y₂)

Gradien garis dapat ditentukan dengan membandingkan selisih komponen y dan selisih komponen x dari P dan Q. Gradien garis yang melalui titik P dan Q adalah

    atau    

            Contoh:

Tentuka gradien garis yang melalui titik P(3,4) dan Q(5, -4)!

Jawab :

 =

Jadi, gradien garis yang melalui titik P(3,4) dan Q(5, -4) adalah -4

3)   Gradien garis yang persamaannya berbentuk ax + by + c = 0

m =     - a

             b

Contoh:

Diketahui garis dengan persamaan 3x + 4y – 12 = 0,tentukan gradiennya!

Jawab:

3x + 4y – 12 = 0

a = 3; b = 4; c= -12

m =   -3

 4

C.           Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5!

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 m₁ = m₂ = 2 (karna sejajar) 

maka :

y - y₁ = m (x-x₁)

y - 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5!

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m₁.m₂ = -1 m₂ = -1/2

maka persamaan garisnya :

y - y1 = m (x-x₁)

y - 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x - 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

Garis-garis dengan persamaan y = m₁x + c₁ dan y = m₂x + c₂ berimpit, jika dan hanya jika m₁ = m₂ dan c₁ = c₂ dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing" merupakan kelipatan dari a, b, c..

4) Persamaan garis yang berpotongan

Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

3.             Fungsi Kuadrat

A.    Pengertian Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax² +  bx + c , dengan a, b, dan c bilangan real, a ≠ 0. Grafik yang dibentuk oleh fungsi kuadrat berbentuk parabola. Fungsi f (x) = ax² + bx + c   dapat juga ditulis y = ax² + bx + c, dengan unsur-unsur sebagai berikut:

 

                                                                                                                                  

Bentuk fungsi kuadrat yang lain adalah  dengan koordinat titik puncak .

Grafik fungsi kuadrat diatas  disebut Parabola.  Parabola diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah garis l dan sebuah titik  Gambar ( 6.3.2). Titik tetap tersebut dikatakan focus dan garis tersebut dikatakan Garis arah.

Sifat-sifat  grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a dan D:

	D < 0	D = 0	D > 0
a < 0	Tidak menyinggung sumbu X (definitive negatif)	Menyinggung sumbu X di satu titik	Menyinggung sumbu X di dua titik
a > 0	Tidak menyinggung sumbu X (definitive positif)	Menyinggung sumbu X di satu titik	Menyinggung sumbu X di dua titik

B.            Sifat-sifat Diskriminan ,

 D = b² – 4ac

 

·       D ≥ 0 Dua akar nyata (real)

·       D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik (nyata berlainan)

·       D = 0 parabola menyinggung sumbu x (nyata sama)

·       D < 0 parabola tidak memotong sumbu x (imajiner, khayal)

Khusus fungsi kuadrat definitive  D < 0

1. Definitive positif , artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di atas sumbu x. Ini terjadi jika  a > 0 dan D <0

2. Definitive negatif, artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di bawah sumbu x. Ini terjadi jika a < 0 dan D < 0

·      Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :

a)     

b)  

c)   

d)  

e)   

f)    

g)  

h)  

·     Menyusun persamaan kuadrat baru

a)   

b)  

C.      Langkah menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y,x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²- 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri. 

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

Jawaban : 

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

         y = x² - 4x - 5       =>       0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5

         0 = x² - 4x - 5                   Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

    b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x² - 4x -5                                                                                     

         y = (0)² - 4(0) - 5

         y = -5

        maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

    c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b²- 4ac /-4a

        = {(-4)² - 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

D.           Cara Meyelesaikan Persamaan Kuadrat

1.      Memfaktorkan:

ax² + bx + c = 0 diuraikan menjadi bentuk (x - x₁) (x - x₂) atau diubah menjadi bentuk:  dengan p + q = b dan pq = ac dengan demikian diperoleh  dan

2.      Melengkapkan Kuadrat Sempurna (mempunyai akar yang sama)

3.      Rumus abc

E.       Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

1.         Jika diketahui titik puncak = gunakan rumus:

2.         Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (y = 0) yakni () dan )

Gunakan rumus: y = a

3.         Jika yang diketahui selain poin 2 dan 3 maka gunakan rumus:

 

F.            SOAL

1.         Lukislah grafik fungsi y = 4x - x2 !

Jawab :

Titik potong dengan sumbu x:

0 = x (4 – x) è x = 0 dan x = 4

a = -1 ˂ 0 è kurva terbuka ke bawah

2.         Tentukan persamaan fungsi dari gambar di bawah ini !

Jawab: y = a (x – x_p)² +y_p

Puncak (-1, -4) è y = a( x + 1)² – 4

Melalui titik (-3, 0) è 0 = a (-3 + 1)²- 4 ó a = 1

Jadi y = 1 ( x + 1)² – 4ó y = x²+ 2x -3

BAB III

PENUTUP

A.                Kesimpulan

1.             Bentuk persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yakni:

a.         Bentuk Eksplisit

b.        Bentuk Implisit

2.             Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu.

Sifat-sifat Garis Berdasarkan Gradiennya

a.       Garis yang arahnya condong ke kanan

b.      Garis yang arahnya condong ke kiri

c.       Garis yang sejajar sumbu x

d.      Garis yang sejajar sumbu y

e.       Dua garis sejajar

f.        Dua garis yang saling tegak lurus

g.      Gradien garis AB sama dengan gradien BA atau m_AB = m_BA

3.             Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax² +  bx + c , dengan a, b, dan c bilangan real, a ≠ 0.

Sifat-sifat Diskriminan ,

 D = b² – 4ac

 

·       D ≥ 0 Dua akar nyata (real)

·       D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik (nyata berlainan)

·       D = 0 parabola menyinggung sumbu x (nyata sama)

·       D < 0 parabola tidak memotong sumbu x (imajiner, khayal)

B.            Saran

Dengan penyusunan makalah ini, diharapkan pembaca mengetahui  persamaan garis lurus, gradien serta mengaplikasikan fungsi kuadrat dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

DAFTAR PUSTAKA

Bardini,Sri. 2011. Kupas Tuntas UN Ujian Nasional SMA Matematika Program IPS. Kartasura, Sukoharjo : CV willian

Budi, Agus dan Istiqomah. 2006. Matematika SMP kelas VIII Semester Gasal. Surakarta: Fokus CV. Sindunata.

Matematika Kelas XII IPS. Yogyakarta: Lembimjar Neutron Yogyakarta.

Soemantri, Yuyun. 2009. Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi kuadrat. Diunduh dari http://matematikasmansaka.files.wordpress.com/2009/02/fungsi-kuadrat-soal-jawab.pdf

TIM HTS. 2011. Modul Matematika Untuk SMA atau MA Semester Genap. Surakarta: Hayati Tumbuh Subur.